[花果山水帘洞] 有限元自学笔记1——变分法

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有限元自学笔记1——变分法

2016-06-25 / vc12345679

有限元自学笔记1——变分法

变分法是用来处理泛函的,泛函可以通过未知函数的积分或者导数来构造,而变分法则可以寻求泛函的极值。

一般求解过程

A(f)=\int_{x_1}^{x_2}L(x,f,f')\mathrm{d}x

为求得以上计算式的局部极值对应的f_0,令f=f_0+\epsilon f_1,其中f_1(x_1)=0f_1(x_2)=0 因为A(f_0)为局部极值,则有

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon} A(f_ 0+\epsilon f_ 1) \bigg| _ { \epsilon =0 } =0

求解以上方程即可。 在极值f_0处,L满足拉格朗日方程

-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial L}{\partial f'}+\frac{\partial L}{\partial f}=0

例1 证明两点之间直线最短

A(f)=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+{f'}^2}\mathrm{d}x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon} A(f _0 +\epsilon f _1) \bigg| _{\epsilon =0} =\int _{x _1}^{x_2}\frac{{f _0}'(x){f _1}'(x)}{\sqrt{1+|{f _0}'(x)|^2}} \mathrm{d}x=0 f_1(x)\frac{{f_0}'(x)}{\sqrt{1+|{f_0}'(x)|^2}} \bigg|_{x_1}^{x_2}- \int_{x_1}^{x_2}f_1(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \Big[\frac{{f_0}'(x)}{\sqrt{1+|{f_0}'(x)|^2}}\Big] \mathrm{d}x=0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \Big[\frac{{f_0}'(x)}{\sqrt{1+|{f_0}'(x)|^2}}\Big]=0 {f_0}''(x)=0

即两点之间,直线最短

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